Le système sexagésimal est un système de numération utilisant la base 60. Notamment utilisé pour mesurer le temps ou les angles (en trigonométrie) et pour préciser des coordonnées géographiques.
Au contraire de la plupart des autres systèmes numériques, le système sexagésimal n'est pas tant utilisé en informatique ou en logique pure, mais est pratique pour la mesure des angles et des coordonnées géographiques. L'unité standard du sexagésimal est le degré (360 degrés), puis la minute (60 minutes = 1 degré) puis la seconde (60 secondes = 1 minute). L'usage moderne du sexagésimal est assez proche de celui de la mesure du temps, dans lequel il y a 24 heures dans une journée, 60 minutes dans une heure et 60 secondes dans une minute. La mesure moderne du temps correspond de façon arrondie à la durée de la rotation de la terre (jours) et de sa révolution (année). Les décimales qui sont plus petites que la seconde sont mesurées avec le système décimal.Histoire [modifier]
Les premiers à utiliser le système sexagésimal semblent avoir été les Sumériens au IIIe millénaire av. J.-C. puis au IIe millénaire av. J.-C. les Babyloniens qui ont inventés la numération babylonienne : un témoin fameux est la tablette Plimpton 322. La mesure du temps en Chine suit le cycle sexagésimal chinois depuis 2697 av. J.-C. Le calendrier hindou fait de même depuis -3102 de notre ère. Il a beaucoup été utilisé par les astronomes et géographes grecs, tels Ptolémée ou Théon d'Alexandrie, qui nous laissent une méthode pour calculer la racine carrée de nombres écrits dans le système sexagésimal. Par la suite il a été utilisé également par les Arabes pendant la dynastie des Omeyyades, en particulier dans les versions du zij d'al-Khwarizmi connues sous le nom de « Table indienne », et par des mathématiciens européens comme Fibonacci. Le système sexagésimal a l'avantage d'avoir de nombreux diviseurs entiers (2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60) qui facilitent le calcul des fractions. 60 est le plus petit nombre divisible par 2, 3, 4, 5 et 6. Numération sumérienne Les plus anciennes traces connues de comptage sont liées à la sédentarisation de groupes humains au Proche-Orient (en Mésopotamie), celui des Sumériens, entre 10 000 et 11 000 ans avant Jésus-Christ, à l'apparition de l'élevage d'ovins et à leur vente sur les premiers marchés. Ainsi ont été découvertes des boules de glaise enfermant six petits cailloux (d'où le mot latin calculus), puis des boules de glaise sur lesquelles six traits figuraient le nombre 6, puis des boules identiques montrant un signe cunéiforme signifiant le nombre 6. La situation de ces boulettes semble montrer qu'elles étaient destinées au comptage des moutons. Il semble que cela soit l'origine des comptages en base 6 ou multiples de 6, notamment la graduation du temps (4 fois 6 heures de 60 minutes de 60 secondes) et celle du cercle (6 × 6 × 10 degrés de 60 minutes de 60 secondes). La numération mésopotamienne utilise essentiellement deux systèmes de numération de position : l'une sexagésimal stricte avec les clous et chevrons, l'autre mélangeant système décimal et sexagésimal. Cette numération est partagée par les Babyloniens et les Akkadiens et provient de celle utilisée par les Sumériens (voir l'article : Numération sumérienne) Chiffres [modifier] Des soixante chiffres du système sexagésimal, les Babyloniens en employaient 59 à l'exception du zéro. Ces chiffres étaient notés à l'aide d'un système additif décimal : un clou Les spécialistes pensent que la règle consistait à regrouper les clous par lignes de trois avec toutefois des exceptions, comme par exemple le chiffre quatre (soit le chiffre babylonien Dans le tableau ci-dessous, les nombres 1, 60 et 3600 sont représentés de la même façon : bien que positionnel, le système babylonien ne note ni le zéro, ni la virgule comme dans la numération chinoise à bâtons. En un certain sens, la numération des Babyloniens ressemble à la notation scientifique avec mantisse et exposant, à ceci près que les Babyloniens ne notaient que la mantisse et conservaient l'exposant mentalement[2]. En langage contemporain il s'agit de calcul en virgule flottante. Le lecteur des tablettes doit ainsi rétablir l'exposant des nombres qu'il déchiffre, ce qui rend l'interprétation parfois difficile. Pour noter le zéro, en position interne à un nombre, une espace puis le « 2 tourné » furent utilisés plus tardivement. Les nombres à virgule flottante sont les nombres les plus souvent utilisés dans un ordinateur pour représenter des valeurs non entières. Ce sont des approximations de nombres réels. Les nombres à virgule flottante possèdent un signe s (dans {-1, 1}), une mantisse m (aussi appelée significande) et un exposant e. Un tel triplet représente un réel s.m.be où b est la base de représentation (généralement 2 sur ordinateur, mais aussi 16 sur certaines anciennes machines, 10 sur de nombreuses calculatrices, ou éventuellement toute autre valeur). En faisant varier e, on fait « flotter » la virgule décimale. Généralement, m est d'une taille fixée. Ceci s'oppose à la représentation dite en virgule fixe, où l'exposant e est fixé. Les différences de représentation interne et de comportement des nombres flottants d'un ordinateur à un autre obligeaient à reprendre finement les programmes de calcul scientifique pour les porter d'une machine à une autre jusqu'à ce qu'une norme soit proposée par l'IEEE. La norme IEEE 754 (reprise par la norme internationale CEI 60559) spécifie deux formats de nombres en virgule flottante (et deux formats étendus optionnels) et les opérations associées. La quasi-totalité des Architectures d'ordinateurs actuelles, y compris IA32, PowerPC, et AMD64, incluent une implémentation matérielle des calculs sur flottants IEEE, directement dans le microprocesseur, garantissant une exécution rapide. Les deux formats fixés par la norme IEEE 754 sont sur 32 bits (« simple précision ») et 64 bits (« double précision »). La répartition des bits est la suivante, où 1 ≤ M < 2 :
Fractions [modifier]
pour l'unité et un chevron 
pour la dizaine. Ainsi, tout chiffre de leur système sexagésimal pouvait s'écrire avec au plus cinq chevrons et neuf clous.
unités
…0 …1 …2 
…3 
…4 
…5 
…6 
…7 
…8 
…9
dizaines 0…
(
)
1…
2… 
3… 
4… 
5… 
) où la groupement de trois clous est remplacé par deux lignes de deux clous[1]. était parfois écrit différemment : suivi d'un un signe signifiant la soustraction et d'un clou : 19 = 20-1[1].Nombres [modifier]
Virgule flottante
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Valeur décimale Écriture babylonienne cunéiforme Décomposition en base 60
1
1 x 1
17
17 x 1
44
44 x 1
60
60 = 1 x 60 + 0 x 1
85
1 × 60 + 25 x 1
3600
3600 = 1 x 60² + 0 x 60 + 0 x 1
11327
3 × 60² + 8 × 60 + 47 x 1
7000,2525
1 x 60² + 56 x 60 + 40 x 1 + 15/60 + 9/60²
Les chiffres sont construits sur la même base que ci-dessus, mis-à-part que l'on compte en base 10. Pour cela, quelques abréviations ont été ajoutées.
|
|
| Valeur | Nombres babyloniens |
|---|---|
| 44 | |
| 85 | |
| 327 |  |
